Sumando el reciproco de los cuadrados: un tributo a Euler
Cada día Google sirve más de 18 mil millones de búsquedas de las cuales, seguramente, un solo usuario puede hacer docenas al día y muchas de ellas se hacen a través de terceros (alguna barra de búsqueda incrustada en un sitio web) por lo cual es difícil saber cuantos usuarios realmente ven el garabato (o doodle) que aparece para festejar ciertas fechas. Sin embargo, es indudable que se trata de una de las plataformas con mayor visibilidad en cualquier tipo de medio. El doodle de hoy festeja el nacimiento de Euler, el famoso matemático suizo del siglo XVIII y nos muestra algunos de sus resultados más conocidos.
En esta entrada seguiremos la deducción que Euler usó para obtener un resultado que no aparece en el garabato pero que ilustra perfectamente su forma de pensar. Consideremos los cuadrados 1,4,9,16… y sus recíprocos 1,1/4, 1/9, 1/16… Ahora, sumemos todos recíprocos de lo cuadrados: 1+1/4+1/9+1/16+… Esto, en efecto, es una suma con términos infinitos y sin embargo, el resultado es finito. No solo eso, sino que resulta ser un número muy famoso. Dado que este resultado se usa con frecuencia (por ejemplo en la integral Planckiana) es común calcularlo en los libros de texto usando series de Fourier. Aquí mostraremos el método por el que se obtuvo originalmente y que exuda todo el genio de Euler.
abril 15, 2013 Deja un comentario
El campo de Schrödinger
El nombre anticuado para la teoría cuántica de campos es “segunda cuantización”. Este nombre es totalmente confuso pues sugiere que se cuantiza dos veces lo cual no corresponde a lo que sucede en realidad: construir operadores a partir de los campos. A partir de aqui surge una pregunta interesante ¿podemos recuperar la ecuación de Schrödinger a partir de un campo clásico? Veremos que es perfectamente posible recuperar la ecuación de Schrödinger partiendo de una buena dosis de adivinanza o simplemente proponer a sabiendas de la ecuación final que se quiere obtener. Claro, obtener un análogo a la ecuación de Schrödinger es solamente la mitad del camino y es necesario saber como construir los operadores necesarios. Sin embargo, por ahora concentrémonos en las dificultades propias de construir la ecuación de campo.
La presencia de simetrías restringe enormemente la forma que puede tomar la acción. Por ejemplo, al construir un campo escalar libre la simetrías de Lorentz solo permiten formar un par de objetos que se transformen adecuadamente: un 4-gradiente 
y el campo 
. La acción resultante no puede ser sino la contracción de cada uno de estos dos elementos: 
, donde 
y 
. Esto es un hecho bastante general, las teorías entre más simetrías quedan mejor determinadas. Esto puede ser bastante poderoso, en la teoria de Yang-Mills los términos de autointeracción están determinados por los coeficientes 
que se obtienen usando técnicas de teorías de grupos. Una vez que conocemos esos coeficientes, la interacción de hasta 3 o 4 bosones de Yang-Mills está completamente determinada. Para contrastar, no hay nada en la ecuación de Schrödinger que nos de la menor sugerencia de que dinámica puede haber hasta que resolvamos explicítamente para el potencial 
que nos interese. Como nuestro caso no tiene estas simetrías habrá que proceder en buena parte mediante adivinanza/retrospectiva.
septiembre 6, 2012 1 comentario
Una analogía entre el ferromagnetismo y el mecanismo de Higgs
En estos días hablar del boson de Higgs se ha vuelto bastante popular. Pese a eso, es difícil encontrar una descripción del mecanismo de Higgs que no termine siendo una parodia. En ese sentido, no es difícil dar una descripción corta del mecanismo: se trata de un mecanismo para dar masa a los bosones intermediarios en teorías de norma sin arruinar la renormalizabilidad usando la ruptura espontanea de la simetría. Los bosones de Goldstone asociados terminan siendo “absorbidos” justo en la forma adecuada para que 
y 
tomen masa mientras que el fotón permanezca sin masa. La partícula asociada al escalar de Goldstone es el boson de Higgs. Dicho lo anterior, la frase es ininteligible para quien no ha estudiado el tema y totalmente superflua para quien lo ha hecho.
Este es uno de los problemas obvios de este tema, se trata más que nada un detalle técnico que parte de como poner términos de masa en una teoría de norma sin echarla a perder. En lugar de una discusión directa (que implicaría introducir las teorías de norma, Yang-Mills y la ruptura espontanea de la simetría antes de poder empezar la discusión) usaremos aquí una analogía con el ferromagnetismo. En un imán los dominios magnéticos se encuentran orientados al azar si el imán está arriba de una temperatura crítica, el punto de Curie. Una vez que se enfría lo suficiente las perturbaciones térmicas ya no pueden impedir que los dominios vecinos se “pongan de acuerdo” sobre que dirección tomar. La dirección tomada está determinada al azar y una vez que el imán se ha magnetizado adquiere una inercia que implica que hay que hacer trabajo para volver a alinear los dominios. Esto es físicamente parecido al mecanismo de Higgs para dar masa a las partículas y será el tema de esta entrada. Seguir leyendo »
julio 23, 2012 Deja un comentario
El efecto de Aharanov-Bohm
En la entrada anterior discutiamos las consecuencias de tener un monopolo: la sola presencia de ellos explica el porque la carga eléctrica está cuantizada. Esto se debe a una singularidad en las coordenadas usadas para describir el campo electromagnético. Al armar el sistema coordenado adecuado y usar una transformación de norma para amarrar los dos parches en los que dividimos las coordenadas se obtiene la condición de cuantización de las cargas.
La siguiente pregunta obvia es ¿Cómo medimos un monopolo? La respuesta es también directa: buscando una fuente de flujo magnético. De hecho, no es realmente tan complicado armar una fuente de flujo magnético que se vea como un monopolo en alguna región del espacio. Por ejemplo consideren un solenoide muy delgado y de extensión infinita, si se considera solamente un corte de un plano perpendicular a la extensión del solenoide este parecerá un monopolo. Claro que no existe nada como un solenoide infinito, en la practica solo podemos armar uno cuya extensión sea muy grande y solo concentrarnos en una región, al integrar sobre todo el espacio el flujo magnético del solenoide se debería anular. Además a una cierta distancia del borde extremo habría “efectos de borde” que delatarían que se trata de un solenoide aun si solo midiéramos esa región. Otra configuración de este estilo se da en astrofísica. Las nubes donde se forman las estrellas tienen un campo magnético y están en rotación. Cuando caen bajo colapso gravitacional el giro aumenta para conservar el momento angular (la región tiene un tamaño menor así que gira más rápido para compensar). En el proceso, esto arrastra al campo magnético consigo y “tuerce” las líneas de campo. Si el campo inicial fuera aproximadamente cilíndrico al final del proceso de torcer las lineas estás formarían algo que parecería un monopolo si se ven desde “arriba/abajo”. Claro, el flujo total sigue siendo cero pues las lineas de campo son cerradas, pero si uno se enfoca en cierta región e ignora voluntariamente los efectos de borde la configuración es similar a un monopolo.
El tema en ésta entrada parte de una especie de pseudobroma: ¿podríamos engañar a un experimental dándole un solenoide microscópico y dejar que se emocione creyendo que encontró un monopolo? En nuestra “gedankenstreich” pondríamos un solenoide microscópico, con un radio menor al tamaño de un núcleo atómico para que nuestro experimentador se entretenga un buen rato. Esto además presenta una situación curiosa: nuestro experto en experimentos puede medir campos magnéticos usando técnicas muy sofisticadas como un squid pero tiene que hacer sus cálculos usando la ecuación de Schrödinger para una partícula cargada en un campo eléctrico ![[(\vec{p}-ie\vec{A})^2-e\phi]\psi = E \psi](http://sanchezluis.x10.mx/personal/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7d70e4d7e8e3c6b4c37b322cd2db4285_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
que no tiene campos en absoluto, sino potenciales. La solución al dilema de nuestro amigo experimental que tiene que determinar si hay un solenoide pero solo puede medir campos magnéticos y comparar con lo que ha calculado usando la mecánica cuántica usando no campos sino potenciales termina con una revelación sorprendente. Además, en tiempos recientes se pueden armar nanosolenoides, asi que no es solamente un ejercicio fantasioso.
julio 22, 2012 Deja un comentario