Sinécdoque | Una parte como el todo. El todo en una parte.

Ondas, partículas y dualidades

Cuando uno comienza a adentrarse en la mecánica cuántica, usualmente en un curso de física moderna, la descripción de los electrones (o fotones) parece la de una especie de adolescente que no decide que quiere ser: una partícula o una onda. Eventualmente, al mudarse a la descripción en términos de la ecuación de Schrödinger todo se ve como una onda (al menos en la representación de coordenadas) y uno olvida el asunto al menos un poco.

Por ejemplo, un grupo de fotones parece propagarse como ondas con efectos de interferencia y difracción. Pero si nos ingeniamos para enviar fotones individuales veremos que crean conteos individuales en el detector, justo como si se tratara de partículas. A este nivel, todo suena muy misterioso y hasta podría parecer obra del mismísimo diablo!

En esta entrada, mostraremos que este comportamiento es “solamente” el resultado de la forma que toma el propagador. El comportamiento cuántico es simplemente distinto al clásico y difícilmente se puede argumentar que sea intuitivo. Sin embargo, se puede obtener perfectamente el comportamiento ondulatorio siguiendo el comportamiento del propagador de una partícula, ilustrando en el proceso la aproximación eikonal (o de fase estacionaria) que tanto hemos mencionado anteriormente. Esto es díficilmente algo nuevo para los lectores que han seguido las dos entradas anteriores sobre el límite clásico y la ecuación de Schrödinger, pero ahora lo veremos en un contexto concreto.

De nuevo romperemos el problema en tres partes: obtener el propagador para después evaluar el momentum y luego la energía a partir de él. Seguir leyendo »

agosto 3, 2011 Deja un comentario

Equivalencia con el formalismo de Schrödinger

En esta ocasión nos proponemos mostrar que el formalismo de integrales de camino es equivalente al formalismo basado en la ecuación de Schrödinger. La relación entre ambos formalismos es hasta cierto punto similar a la que hay entre las leyes de Newton y el formalismo variacional donde las primeras son locales y el último global. Las primeras se basan en una ecuación diferencial: $\vec{F}=d\vec{p}/dt$ que expresa cambios infinitesimales. A primera vista, podemos sentirnos inclinados a pensar que como la ecuación de Euler-Lagrange tambien es una ecuación diferencial ambos formalismos se basan en la descripción de cambios infinitesimales.

Sin embargo, esto ignoraría el argumento central: la ecuación de Euler-Lagrange no es el punto de partida del formalismo variacional, sino el principio de Hamilton. Este está enunciado como $\delta S[x(t)] / \delta x(t) = 0$ , que significa que la acción debe tomar un valor estacionario a lo largo de toda su trayectoria. Por lo tanto, se trata de un enunciado global. Las ecuaciones de Euler-Lagrange no hacen sino expresar este enunciado en su versión local y terminan resultando en las mismas ecuaciones de movimiento que las obtenidas por las leyes de Newton.

Lo que haremos en esta entrada será justo eso: calcular la propagación para un instante infinitesimal. Para hacerlo un poco más digerible atacaremos el problema en tres partes: Primero relacionaremos los propagadores $\langle x_f |e^{-iHt}|x_i \rangle = U(x_f,t_f;x_i,t_i)$ con la función de onda $\psi(x,t)$ . Después pasaremos a calcular el propagador para un lapso de tiempo muy pequeño $\epsilon=t_f-t_i$ y finalmente tomaremos el límite cuando $\epsilon \rightarrow 0$ . Seguir leyendo »

julio 29, 2011 2 comentarios

Recuperando el límite clásico de la mecánica cuántica

Uno de los problemas principales con los formalismos Schrödinger y Heisenberg es obtener la dinámica clásica como un límite de la mecánica cuántica de una manera transparente. Se puede mostrar que los valores esperados siguen una evolución con la misma forma que su análogo clásico:

(1) $\begin{equation*} \frac{d}{dt} \langle p \rangle = -\left\langle \frac{dV(x)}{dx} \right\rangle \end{equation*}$

para todo instante $t$ . Similarmente, la estructura de conmutación clásica para una variable $O$ que no dependa explíctamente del tiempo, cuya versión clásica es $dO/dt = \{ O,H \}$ es reemplazada por

(2) $\begin{equation*} \frac{d \hat{O}}{dt} = \frac{1}{i \hbar} [\hat{O}, \hat{H}]. \end{equation*}$

Es claro que ambas expresiones son muy similares en forma, pero también hay que reconocer que en realidad no involucran a los mismos objetos. Las variables $O$ son operadores $\hat{O}$ en la teoría cuántica y no podemos rastrear su evolución sino la de sus valores esperados. Además, esto no resulta de un proceso controlado de límite como es el caso de la relatividad especial que se reduce a la dinámica de Newton cuando $v/c \approx 1$ .

El límite clásico de la teoría cuántica encuentra su lugar más “natural” en la descripción de integrales de camino. Nuestro proyecto en esta entrada es mostrar que la integral $\int dx \ e^{iS/\hbar}$ tiene el principio de mínima acción “enterrado” en ella.

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julio 15, 2011 Deja un comentario

Construyendo la integral de camino

Si bien es posible usar la integral de camino de Feynman para introducir la mecánica cuántica de una forma relativamente intuitiva donde solo cambia la forma de definir amplitudes clásicas, aquí asumiré que el lector conoce un poco de mecánica cuántica y usaré el formalismo “usual” para motivar la integral de camino.

La amplitud para una partícula que va de $(q_i,t_0)$ a $(q_f,t)$ está dada por

(1) $\begin{equation*} \langle q_f|e^{-iHt}|q_i\rangle, \end{equation*}$

donde $H$ es el operador Hamiltoniano. A partir de ahora $t_0=0$ . Vamos ahora a “rebanar” el intervalo de tiempo $t$ en muchos pedacitos $\delta t = t/n$ . Intuitivamente tenemos que

(2) $\begin{equation*} \langle q_f|e^{-iHt}|q_i\rangle = \langle q_f| \underbrace {e^{-iH \delta t}... e^{-iH \delta t} } _{\mathrm{n \ veces}}|q_i\rangle . \end{equation*}$

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julio 12, 2011 1 comentario

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